Решение
Для решения данной задачи, сначала определим, что нужно найти формулу общего члена заданных рядов.
- Для первого ряда:
[ a_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + \ldots ]
Общий член этого ряда можно записать как:
[ a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} ]
- Для второго ряда:
[ b_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots ]
Этот ряд является геометрической прогрессией с первым членом ( \frac{1}{2} ) и знаменателем ( \frac{1}{2} ). Общий член можно записать как:
[ b_n = \frac{1}{2^n} ]
Таким образом, формулы общего члена для заданных рядов следующие:
- ( a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} )
- ( b_n = \frac{1}{2^n} )
Решение
Давайте рассмотрим третий ряд:
[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \ldots
]
Каждый из членов этого ряда представляет собой обратные значения факториалов:
- ( 1 = \frac{1}{0!} )
- ( \frac{1}{2} = \frac{1}{1!} )
- ( \frac{1}{6} = \frac{1}{3!} )
- ( \frac{1}{24} = \frac{1}{4!} )
- ( \frac{1}{120} = \frac{1}{5!} )
Таким образом, общий член ряда можно записать как:
[
\frac{1}{n!}
]
где ( n ) — это порядковый номер члена ряда, начиная с 0.
Этот ряд является разложением экспоненты:
[
e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
]
Таким образом, сумма данного ряда равна ( e ) (число Эйлера), которое примерно равно 2.71828.
Решение
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x + 1 ), ( y = 0 ), ( x = 0 ) и ( x = 2 ), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти точки пересечения линий:
- Уравнение ( y = x + 1 ) пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 1) ) и ось ( x ) в точке ( (-1, 0) ). Однако, нас интересуют только значения ( x = 0 ) и ( x = 2 ).
-
Определить границы интегрирования:
- Мы рассматриваем область от ( x = 0 ) до ( x = 2 ).
-
Записать определённый интеграл для нахождения площади:
- Площадь под кривой от ( x = 0 ) до ( x = 2 ) будет равна:
[
S = \int_{0}^{2} (x + 1) , dx
]
- Площадь под кривой от ( x = 0 ) до ( x = 2 ) будет равна:
-
Вычислить интеграл:
- Интегрируем:
[
S = \int_{0}^{2} (x + 1) , dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \right) – \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right)
]
[
= \left( \frac{4}{2} + 2 \right) – 0 = 2 + 2 = 4
]
- Интегрируем:
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна ( 4 ) квадратных единиц.
