obtener los intervalos de confianza para la media y la varianza cuando los $X_i$ para i=1,2,…,n se distribuyen $exp(\theta)=\thetaexp{-\thetax}$

Para obtener los intervalos de confianza para la media y la varianza cuando los (X_i) para (i=1,2,\ldots,n) se distribuyen (exp(\theta) = \theta \exp(-\theta x)), debemos seguir estos pasos:

Paso 1: Definir la distribución

La distribución exponencial con parámetro (\theta) tiene la función de densidad:
[ f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x} \quad \text{para} \quad x \geq 0 ]

Paso 2: Estimar los parámetros

La media de la distribución exponencial es (\frac{1}{\theta}) y la varianza es (\frac{1}{\theta^2}). Para estimar (\theta), usamos el estimador de máxima verosimilitud (MLE):

La función de verosimilitud es:
[ L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^n \theta e^{-\theta x_i} = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i} ]

El logaritmo de la función de verosimilitud es:
[ \ell(\theta) = n \log(\theta) – \theta \sum_{i=1}^n x_i ]

Derivando y resolviendo para (\theta):
[ \frac{d\ell}{d\theta} = \frac{n}{\theta} – \sum_{i=1}^n x_i = 0 ]
[ \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\bar{X}} ]

Paso 3: Intervalo de confianza para (\theta)

Dado que (\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}), podemos usar la distribución (\chi^2) para construir el intervalo de confianza.

[ 2n\hat{\theta} \sim \chi^2_{2n} ]

El intervalo de confianza para (\theta) con un nivel de confianza (1-\alpha) es:
[ \left( \frac{2n\hat{\theta}}{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2}}, \frac{2n\hat{\theta}}{\chi^2_{2n, \alpha/2}} \right) ]

Paso 4: Intervalo de confianza para la media

La media de la distribución exponencial es (\mu = \frac{1}{\theta}). Usando el intervalo de confianza para (\theta), podemos encontrar el intervalo de confianza para (\mu):

[ \left( \frac{\chi^2_{2n, \alpha/2}}{2n\hat{\theta}}, \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2}}{2n\hat{\theta}} \right) = \left( \frac{\chi^2_{2n, \alpha/2} \bar{X}}{2n}, \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2} \bar{X}}{2n} \right) ]

Paso 5: Intervalo de confianza para la varianza

La varianza de la distribución exponencial es (\sigma^2 = \frac{1}{\theta^2}). Usando el intervalo de confianza para (\theta), podemos encontrar el intervalo de confianza para (\sigma^2):

[ \left( \left( \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2}}{2n\hat{\theta}} \right)^2, \left( \frac{\chi^2_{2n, \alpha/2}}{2n\hat{\theta}} \right)^2 \right) = \left( \left( \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2} \bar{X}}{2n} \right)^2, \left( \frac{\chi^2_{2n, \alpha/2} \bar{X}}{2n} \right)^2 \right) ]

Resumen de los intervalos de confianza:

  • Intervalo de confianza para (\theta):
    [ \left( \frac{2n\hat{\theta}}{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2}}, \frac{2n\hat{\theta}}{\chi^2_{2n, \alpha/2}} \right) ]

  • Intervalo de confianza para la media (\mu):
    [ \left( \frac{\chi^2_{2n, \alpha/2} \bar{X}}{2n}, \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2} \bar{X}}{2n} \right) ]

  • Intervalo de confianza para la varianza (\sigma^2):
    [ \left( \left( \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha/2} \bar{X}}{2n} \right)^2, \left( \frac{\chi^2_{2n, \alpha/2} \bar{X}}{2n} \right)^2 \right) ]

Estos son los intervalos de confianza para la media y la varianza de una distribución exponencial con parámetro (\theta).